Aristaeus the Elder

伝記

大アリスタイオス(アリスタイオス・ザ・エルダー)は、古代ギリシアの幾何学者・数学者である。円錐曲線を研究し、紀元前370年ごろから紀元前300年ごろにかけて生きたとされる。ユークリッドと同時代の人で、その少し年長だった。

生涯についてはほとんど知られておらず、出身地すら分かっていない。アレクサンドリアのパップスが「大アリスタイオス」と呼んだことから、この名で知られる。ユークリッドやアポロニオスに並ぶ、あるいは彼らに影響を与えるほどの傑出した幾何学者だったらしいが、その業績について伝わることは、重要人物とされるわりに驚くほど乏しい。業績は、ユークリッドの『原論』に似た、命題を公理から積み上げる形式の論考にまとめられていた。その数学の手法は、断片的に残る著作と後世の注釈者の記述から推測するしかない。

アリスタイオスは、古代の幾何学的な解析の分野を支えた主要な人物の一人で、ユークリッドやアポロニオスと並び称される。パップスはこうした人々の著作を32点集め、『解析の宝庫』と呼ばれる学習課程にまとめた。アリスタイオスの探究は『立体軌跡』5巻にまでおよび、これは円錐曲線を扱う中級の論考だった。解析とは、すでに与えられた図形の性質を導き、その作図の仕方を探る方法であり、条件を満たす図形をゼロから作り出す総合とは逆の向きをとる。たとえば直線上にある条件を満たす点を求めるとき、アリスタイオスは点が与えられたものと仮定し、その性質を調べて、点が双曲線などの円錐曲線上にあるかどうかを確かめた。そうであれば、その曲線を作図して初めの直線と交わらせることで、求める点が得られる。のちにこうした定理を総合の証明に書き直すことはできるが、それでは解法がどのように見つけられたかが見えなくなってしまう。

円錐曲線に対するアリスタイオスの見方は、まだ素朴なものだった。円錐を平面で切るあらゆる場合を扱わず、円錐の母線に垂直な平面による切り口だけを考えた。そのため、鋭角円錐の切断(楕円)、直角円錐の切断(放物線)、鈍角円錐の切断(双曲線)という3種類の曲線を見いだした。のちにアポロニオスが円錐曲線を研究したとき、あらゆる円錐からあらゆる切り口が生じることから、この用語に戸惑い、曲線の性質に基づいて楕円・放物線・双曲線と改名したという。定義が一般化され、円もまた円錐の切り口に含まれることになった。アリスタイオスの円錐曲線への貢献は有益だった。パップスによれば、人々は彼の軌跡を立方体倍積問題の解決に用いたといい、アリスタイオス本人が用いた可能性もある。双曲線を用いて角の三等分問題を解いたようでもある。これらの曲線は、立体を用いなければ生成できないため立体軌跡と呼ばれ、その軌跡でしか解けない問題は立体問題と呼ばれた。角の三等分や立方体の倍積はその例で、のちにコンパスと定規だけでは解けないことが証明された。

著作はすべて失われたが、一部の定理はパップスやアルキメデスによって保存された可能性がある。『立体軌跡』は題名だけが残るが、パップスが別の箇所で「円錐の原論5巻」と述べていることから、円錐曲線に関する書だったと確かめられる。『五つの図形の比較』という失われた書は、同じ球に内接する正多面体を比較したもので、同じ円が正十二面体の五角形と正二十面体の三角形の両方に外接することを証明していた。この書がユークリッド『原論』第13巻の着想源になった可能性もあるという。